Princip virtuálních prací (PVP) (☕☕☕)#

PVP je zcela odlišný způsob jak dojít k rovnovážnému stavu tělesa. Výchází z předpokladu, že těleso v rovnováze zůstane v rovnováze i po malém (nekonečně malém vychýlení) a že práce vykonaná silami po tomto malém (virtuálním) posunutí je nulová. PVP princip je univerzální a vzhledem k tomu, že práce (energie) je nezávislá na souřadnicovém systému, je i méně pracný než uvolňovací metoda.

Princip virtuální práce hmotného bodu#

Hmotný bod (HB) je v rovnováze tehdy, pokud platí, že výslednice sil je rovna nule:

\[ \begin{equation} F = 0 \end{equation} \]

Nyní HB přesuneme “virtuálně” o libovolný malý úsek \(\delta r\). HB vykoná virtuální práci:

\[ \begin{equation} \delta W = F\cdot\delta r = 0 \end{equation} \]

Vztah říká, že je-li HB v rovnováze, virtuální práce sil působcích na HB je 0 pro libovolné virtuální posunutí \(\delta r\). Pokud je virtuální práce 0, musí platit i obráceně, že HB je v rovnováze. Zvolme například \(\delta r = {\delta x, 0, 0}\), vidíme, že:

\[ \begin{equation} \delta W = 0 = F_x \delta x + F_y 0 + F_z 0 \rightarrow F_x = 0 \end{equation} \]

Princip virtuální práce pro soustavu hmotných bodů#

Soustava \(N\) HB je v rovnováze jestliže každý HB je v rovnováze, tedy výslednice sil \(F_i=0, i=1, ..., N\).

soustava hmotných bodů

Pokud každý bod posuneme o \(\delta r_i\), můžeme napsat podle PVP:

\[ \begin{equation} \delta W = \sum_{i}^{N} F_i \cdot \delta r_{i}=0 \end{equation} \]

Obráceně platí, že pokud je \(\delta W=0\), musí být soustava HB v rovnováze (stejná úvaha jako pro jeden HB.)

Virtuální práce reakčních sil#

Reakční síla \(R\) je dána geometrickou vazbou \(z\geq 0\).

práce vazeb

Vidíme, že virtuální posunutí nemůže být libovolné, tj. musí být takové, které neporušuje vazbu (HB nemůžeme zatlačit do stolu) a musí platit, že podmínka vazby je splněna pro \(\pm \delta r\).

Poznámka

Virtuální práce reakčních sil při vratných posunutích slučitelných s vazbami je rovna nule.

Zobecněný PVP#

Výslednice sil působící na itý HB je dána:

\( \begin{equation} F_i = F_i + R_i \end{equation} \)

Podle PVP musí platit, že soustava je v rovnováze tehdy:

\[ \begin{equation} \sum_{i}^{N} = F_i\cdot \delta r_i=0 \end{equation} \]

Dosadíme-li, 5 do 6:

\[ \begin{equation} \delta W = \sum_{i}^{N} (F_i + R_i)\cdot\delta r_i = \sum_{i}^{N}F_i\cdot\delta r_i + \sum_{i}^{N}R_i\cdot\delta r_i = \sum_{i}^{N}F_i\cdot\delta r_i \end{equation} \]

Víme, že virtuální práce vykonaná reakcemi je 0.

Příklad 01: Kyvadlo#

Uvažujme kyvadlo v homogenním gravitačním poli. Nalezněte polohu, kdy je kyvadlo ve statické rovnováze.

kyvadlo

Kyvadlo obsahuje geometrickou vazbu, která je dána:

\[ \begin{equation} \bar{x}^2 + \bar{y}^2 = l^2 = konst. \end{equation} \]

Virtuální posunutí spočítáme jako diferenciál (nekonečně malá):

\[ \begin{equation} 2\bar{x}\delta{\bar{x}} + 2\bar{y}\delta{\bar{y}} = 0 \end{equation} \]

Podle PVP platí:

\[ \begin{equation} \delta W = F\cdot\delta r = 0\delta x + mg\delta y = -\frac{mg}{y}x\delta x = 0 \end{equation} \]

Pro libovolné \(\delta r\), splňující (8), plyne \(x=0\)! Pro PVP s reakcemi neplyne, že síly \(F\) jsou nulové. Nulový je součet \(F + R\)!

Příklad 02: Rovnováha na kladce#

Uvažujme buben zatížený závažím \(m\) v grav. poli. Nalezněte sílu \(F\) tak aby byla soustava v rovnováze.

kladka

Podle PVP platí:

\[ \begin{equation} \delta W = -mg\delta u_1 + F\delta u_2 = 0 \end{equation} \]

Geometrická podmínka je:

\[ \begin{equation} \frac{\delta u_1}{r_1} = \frac{\delta u_2}{r_2} \end{equation} \]

Dosazením 12 do 11:

\[ \begin{equation} \delta W = (-mg\frac{r_1}{r_2} + F)\delta u_2=0 \end{equation} \]

Nebo:

\[ \begin{equation} \delta W = (-mg r_1 + F r_2)\delta\alpha=0 \end{equation} \]

Příklad 03: Podepřený hranol#

Uvažujte podepřený hranol, který je zatížení vlastní vahou. Nalezněte sílu \(F\), tak aby byl hranol v rovnováze.

hranol

zaveďme: \(L = a + b\), \(x_B\)=c + d, \(y_A=\sqrt{\mathrm{L}^2 - x_B^2}\) Napišme rovnici vazby mezi pohybem bodu A a B:

\[ \begin{equation} (x_B - \delta x_B)^2 + (y_A + \delta y_A)^2 = L^2 = x_B^2 + y_A^2 \end{equation} \]

\(\delta x_B,\delta y_A\) jsou virtuální posunutí, která jsou na sobě závislá. Rozepsáním získáme:

\[ \begin{equation} x_B^2 - 2x_B\delta x_B + \delta x_B^2 + y_A^2 + 2y_A\delta y_A + \delta y_A^2 = x_B^2 + y_A^2 \end{equation} \]

členy \(\delta x_B^2, \delta y_A^2\) jsou velmi malé a tak je zanedbáme, pak platí, že:

\[ \begin{equation} \delta y_A = \frac{x_B}{y_A} \delta x_B \end{equation} \]

Podobně platí, že:

\[ \begin{equation} \delta y_G = \frac{1}{2}(y_A + \delta y_A) - \frac{1}{2}y_A = \frac{1}{2}\delta y_A \end{equation} \]

S uvažováním (18) pak platí:

\[ \begin{equation} \delta y_G = \frac{1}{2}\frac{x_B}{y_A}\delta x_B \end{equation} \]

Virtuální práce musí být nula aby byla tyč v rovnováze:

\[ \begin{equation} \delta W = F_G \delta y_G \cos(180) + F \delta x_B \cos(0) = 0 \end{equation} \]

Musíme sjednotit virtuální posuv…tedy dosaďme z (20):

\[ \begin{equation} \delta W = (-F_G \frac{1}{2}\frac{x_B}{y_A} + F)\delta x_B = 0 \end{equation} \]

Pro libovolné nenulové \(\delta x_B\) musí platit, že výraz v závorce je nula! Dosadíme za \(L = a + b, x_B = c + d, y_A = \sqrt{L^2 - x_B^2}\):

\[ \begin{equation} \delta W = (-F_G \frac{1}{2}\frac{c + d}{\sqrt{(a + b)^2 - (c + d)^2}} + F)\delta x_B = 0 \end{equation} \]

Výraz v závorce je rovnice rovnováhy, tedy:

\[ \begin{equation} -F_G \frac{1}{2}\frac{c + d}{\sqrt{(a + b)^2 - (c + d)^2}} + F = 0 \end{equation} \]